Основы математического анализа. Как найти производную?

Видео: Провести полное исследование функции от bezbotvy

Производной некоторой функции f(x) в конкретной точке x0 называют границу соотношения прироста функции к приросту аргумента при условии, что x следует к 0, а граница существует. Производную обычно обозначают штрихом, иногда с помощью точки либо через дифференциал. Нередко запись производно через границу приводит в заблуждение, так как такое представление используется крайне редко.

Функцию, которая имеет производную в определенной точке x0, принято называть дифференцируемой в такой точке. Предположим, D1 - множество точек, в каких функция f дифференцирована. Поставив в соответствие каждому числу число x, принадлежащее D f&rsquo-(x), получим функцию с областью обозначения D1. Эта функция является производной y=f(x). Ее обозначают так: f&rsquo-(x).

Кроме того, производная широко используется в физике и технике. Рассмотрим самый простой пример. Материальная точка двигается по координатной прямо, при чем задан закон движения, то есть координатой x этой точки является известная функция x(t). На протяжении интервала времени от t0 до t0+t перемещение точки равняется x(t0+t)-x(t0)= x, а ее средняя скорость v(t) равна x/t.

Иногда характер движения представлен так, что при малых отрезках времени средняя скорость не изменяется, имеется в виду то, что движение с большей степенью точности считается равномерным. Или же значение средней скорости, если t0 следует к некоторому абсолютно точному значению, которое и называют моментальной скоростью v(t0) этой точки в конкретный момент времени t0. Считается, что моментальная скорость v(t) известна для любой дифференцированной функции x(t), при чём v(t) будет равно x&rsquo-(t). Проще говоря, скорость – это производная от координаты по времени.

Моментальная скорость имеет и положительные, и отрицательные значения, а также значение 0. Если же она на некотором интервале времени (t1- t2) положительная, тогда точка движется в таком же направлении, то есть координата x(t) увеличивается со временем, а если v(t) отрицательная, тогда координата x(t) уменьшается.

Видео: Как находить производную - bezbotvy

В более сложных случаях точка движется в плоскости или в пространстве. Тогда скорость – векторная величина и определяет каждую из координат вектора v(t).

Аналогично можно сопоставить с ускорением движения точки. Скорость является функцией от времени, то есть v=v(t). А производная такой функции - ускорением движения: a=v&rsquo-(t). То есть получается, что производная от скорости по времени является ускорением.

Предположим y=f(x) - любая дифференцированная функция. Тогда можно рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, которое происходит за законом x=f(t). Механическое содержание производной дает возможность представить наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.

Как найти производную? Нахождение производной некоторой функции называется ее дифференцированием.

Наведем примеры того, как найти производную функцию:

Производная постоянной функции равна нулю- производная функции y=x равна единице.

А как найти производную дроби? Для этого рассмотрим следующий материал:

При любом x0<>0 будем иметь

y/x=-1/x0*(x+x)

Существует несколько правил, как найти производную. А именно:

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их сумма дифференцирована в точке: (A+B)&rsquo-=A&rsquo-+B&rsquo-. Проще говоря, производная суммы равна сумме производных. Если функция дифференцирована в некоторой точке, тогда ее прирост следует к нулю при следовании к нулю прироста аргумента.

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их произведение дифференцировано в точке: (A*B)&rsquo-=A&rsquo-B+AB&rsquo-. (Значения функций и их производных рассчитываются в точке x0). Если функция A(x) дифференцирована в точке x0, а С – постоянная, тогда функция CA дифференцирована в этой точке и (CA)&rsquo-=CA&rsquo-. То есть, такой постоянный множитель выносится за знак производной.

Видео: Матан - математический анализ (от bezbotvy)

Если функции A и B дифференцированы в точке x0, и функция B не равна нулю, то их соотношение так же дифференцировано в точке: (A/B)&rsquo-=(A&rsquo-B-AB&rsquo-)/B*B.